Merci à mon cousin Georges Marais d’avoir partagé cette démonstration de Richard Feynman montrant que la trajectoire d’un corps subissant d’un autre corps une attraction inversement proportionnelle au carré de sa distance est une conique dont l’astre attracteur occupe un foyer.

1^re partie : loi des aires

On vise ici la 2^e loi de Kepler : aires égales en temps égaux (démonstration de Newton).

On considère une planète soumise à une force centrale, c’est-à-dire toujours dirigée vers le Soleil, noté S. On veut montrer que, pour des durées égales \Delta t, le rayon vecteur \overrightarrow{SP} balaie des aires égales.

1) Idée de Newton : « impulsions » successives

Pour raisonner géométriquement, Newton remplace l’action gravitationnelle continue par une suite d’impulsions brèves appliquées à intervalles réguliers \Delta t. Entre deux impulsions, le mouvement est rectiligne uniforme.

Ensuite, on fait tendre \Delta t vers 0 pour obtenir la trajectoire modélisée.

2) Construction sur deux intervalles successifs

À l’instant t_0, la planète est en A. Au bout d’une durée \Delta t, elle est en B. On étudie ensuite l’intervalle [t_0+\Delta t,\;t_0+2\Delta t].

Position inertielle

Si, à partir de B, aucune force n’agissait, la planète poursuivrait en ligne droite avec la même vitesse. On construit le point C qu’elle atteindrait, tel que :

\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}.

Effet de l’impulsion due au Soleil

En B, une « impulsion » due au Soleil modifie la vitesse dans la direction de la droite (SB) (force centrale). On représente cette déviation en traçant, à partir de C, un segment [CC'] dont la droite support est parallèle à (SB). Le point C' désigne alors la position de la planère au bout du second intervalle de temps.

(CC')\parallel(SB).

Attention au repère temporel :
B correspond à t_0+\Delta t ;
C' correspond à t_0+2\Delta t.

3) Égalité des aires balayées

On compare les aires des triangles formés avec le point S.

Les triangles SAB et SBC ont le même sommet S. Les segments [AB] et [BC] ont la même longueur, et les droites (AB) et (BC) sont confondues. La distance de S à la droite (AB) est donc égale à la distance de S à la droite (BC). Les hauteurs des deux triangles sont égales, donc :

\mathcal A(SAB)=\mathcal A(SBC).

Les triangles SBC et SBC' ont la même base SB. Or la droite (CC') est parallèle à (SB), donc les points C et C' sont situés sur une droite parallèle à la base (SB). Leur distance à la droite (SB) est la même, donc les hauteurs relatives à la base SB sont égales. Ainsi :

\mathcal A(SBC)=\mathcal A(SBC').

Conclusion

En combinant les deux égalités, on obtient :

\mathcal A(SAB)=\mathcal A(SBC')

Donc, pendant deux intervalles successifs de même durée \Delta t, les aires balayées par le rayon vecteur sont égales. En répétant le raisonnement \Delta t après \Delta t, les aires balayées sont égales pour tous les intervalles de temps égaux. En faisant tendre \Delta t vers 0, on retrouve la trajectoire lisse et la loi reste vraie : les aires parcourues pendant des durées identiques sont égales.

Remarque importante

Cette preuve ne dépend pas de la forme précise de la loi d’attraction (pas besoin de 1/r^2). Elle utilise seulement le fait que la force est centrale, donc dirigée vers S.

2^e partie : de Newton à Feynman

Introduction

Le raisonnement précédent est celui de Newton dans Principia Mathematica. En introduisant une force d’attraction du Soleil sur la planète de forme

F=\frac{K}{r^{2}}

il en déduit que les trajectoires des planètes sont des ellipses. Richard Feynman n’arrivait pas à suivre ce raisonnement, qui faisait appel à des propriétés sur les coniques qu’il ne connaissait pas. Il proposa le raisonnement suivant, qui fait appel uniquement à de la géométrie élémentaire.

Le découpage en angles égaux

Au lieu de considérer une succession de positions correspondant à des durées de parcours égales, il considère une succession de positions J, K, L, M, qui correspondent à des écarts angulaires \Delta \theta égaux, mesurés depuis le Soleil.

Les durées mises par la planète pour aller de J à K, puis de K à L, puis de L à M sont inégales. En revanche, d’après la loi des aires (2^e loi de Kepler), chacune de ces durées est proportionnelle à l’aire balayée par le segment Soleil-planète depuis le Soleil.

Or, en choisissant des positions J, K, L, M telles que les angles au Soleil soient égaux, on impose un même petit angle \Delta \theta à chaque « pas ». Pour un pas angulaire \Delta \theta, l’aire balayée s’apparente alors, pour de petites valeurs, à celle d’un petit secteur de disque de rayon r :

\Delta A \simeq \frac{1}{2} r^{2} \Delta\theta

Comme \Delta\theta est constant par construction, on en déduit que l’aire balayée est proportionnelle à r^2 :

\Delta A \propto r^{2}

Et puisque la loi des aires donne \Delta t proportionnel à \Delta A, on obtient finalement :

\Delta t \propto r^{2}

En prenant une attraction vers le Soleil proportionnelle à \frac{1}{r^{2}}, on a, d’après la 2^e loi de Newton :

\frac{\|\Delta \vec{v}\|}{\Delta t}=\frac{GM}{r^{2}}

\Delta t étant proportionnel à r^{2}, on en déduit que les \Delta \vec{v} ont une norme constante. On obtient :

\|\Delta \vec{v}\|=\text{constante}

Considérons maintenant l’évolution du vecteur vitesse :

Lorsque l’angle augmente de \Delta\theta, \vec{v} augmente de \Delta\vec{v}. Ce \Delta\vec{v} a toujours la même norme (établi ci-dessus) et chaque \Delta\vec{v} fait le même angle avec le précédent : en effet, chaque \Delta\vec{v} est dirigé vers le Soleil (force centrale), et comme on avance de \Delta\theta à chaque pas, la direction de \Delta\vec{v} tourne exactement de \Delta\theta d’un pas au suivant — l’angle entre deux \Delta\vec{v} consécutifs est donc précisément \Delta\theta.

À chaque pas, on a donc un déplacement de même norme dans l’espace des vitesses, avec une rotation constante de \Delta\theta : l’extrémité du vecteur vitesse décrit ainsi un polygone régulier. On appelle C le centre de ce polygone. Lorsque \Delta\theta \to 0, ce polygone régulier tend vers un cercle de centre C.

Évolution de la position P et du vecteur vitesse au fur et à mesure des incréments angulaires de \Delta\theta.

Dans l’espace des vitesses, on appelle hodographe ce cercle tracé par l’extrémité du vecteur vitesse. On note :

• O : l’origine de l’espace des vitesses (point de départ de \vec{v}),
• p : l’extrémité du vecteur vitesse \vec{v}, point courant sur le cercle (hodographe),
• C : le centre de ce cercle,

de sorte que \vec{v} = \overrightarrow{Op}.

L’idée géniale de Feynman : la rotation de 90° du diagramme des vitesses

Dans le diagramme des vitesses, \overrightarrow{Op} est le vecteur vitesse \vec{v}. Il donne donc la direction de la tangente à l’orbite au point P correspondant.

Feynman propose de faire tourner l’ensemble du diagramme des vitesses de 90° dans le sens des aiguilles d’une montre, puis de le superposer au diagramme des positions. Après cette rotation, le vecteur \overrightarrow{Op} est perpendiculaire à ce qu’il était : il est désormais orienté perpendiculairement à la tangente à l’orbite en P, c’est-à-dire que sa direction est celle de la normale à l’orbite.

Espace des positions et diagramme des vitesses pivoté.

Le problème se reformule alors ainsi : trouver une courbe telle qu’en chaque point P, situé sur le rayon [Cp] du cercle hodographique, la tangente soit perpendiculaire à la direction de \overrightarrow{Op}.

Correspondance angulaire — pourquoi P est sur le rayon [Cp].

Dans l’espace des positions, chaque \Delta\vec{v} est dirigé vers le Soleil S (force centrale) ; il est aussi une corde du cercle hodographique dans l’espace des vitesses. Lorsque \Delta\theta \to 0, cette corde devient tangente au cercle, donc perpendiculaire au rayon [Cp]. Après rotation de 90°, (Cp) se retrouve parallèle à (SP) : c’est pourquoi on identifie S avec C dans le diagramme superposé.

Avec S = C, les deux centres de rotation coïncident : après k pas, P a tourné de k\Delta\theta autour de S = C, et p a tourné du même angle k\Delta\theta autour de C = S. P et p restent donc toujours dans la même direction depuis S = C, et P se trouve bien sur le rayon [Cp] pour tout \theta.

La solution : considérer la médiatrice de [Op]

Soit P l’intersection de la médiatrice de [Op] avec le segment [Cp]. Ce point existe et est unique tant que O est à l’intérieur du cercle.

Puisque P est sur la médiatrice de [Op] :

PO = Pp

Et puisque P est sur le segment [Cp] :

CP + Pp = Cp = R

avec R le rayon du cercle formé par l’hodographe.

En substituant :

OP + CP = R = \text{constante}

La somme des distances de P aux deux points fixes O et C est constante : P décrit une ellipse de foyers O et C, de grand axe 2a = R.

Puisque S = C, l’astre attracteur occupe bien le foyer C de l’ellipse. Le second foyer O (l’origine de l’espace des vitesses) est le foyer géométrique vide.

La médiatrice de [Op] est tangente à cette ellipse en P. Soit maintenant P' un autre point de la médiatrice (P' \neq P). Puisque P' est sur la médiatrice de [Op] :

OP' = pP'

donc :

OP' + CP' = pP' + CP'

Or P' \neq P implique que P' n’est pas sur la droite (Cp) (car P est l’unique intersection de la médiatrice avec (Cp)). Par l’inégalité triangulaire stricte :

pP' + CP' > pC = R

Donc OP' + CP' > R = OP + CP : tout point de la médiatrice autre que P est strictement à l’extérieur de l’ellipse. La médiatrice de [Op] est donc tangente à l’ellipse en P.

Remarque sur les unités

Dans l’élégante construction géométrique proposée par Feynman, une étape clé consiste à superposer l’espace des vitesses (l’hodographe) et l’espace des positions (l’orbite de la planète), en identifiant le centre C du cercle des vitesses avec la position du Soleil S.

Géométriquement, l’astuce cache un petit abus de langage dimensionnel. En effet, lorsque l’on déduit que P décrit une ellipse en écrivant l’égalité OP + CP = R, on manipule sur une même figure des points appartenant à l’espace des positions (le point P, dont les distances s’expriment en mètres) et des points issus de l’hodographe (O, C et p, qui représentent des vitesses en mètres par seconde).

Pour que la démonstration soit plus rigoureuse, il faudrait introduire un facteur d’échelle (une constante de proportionnalité ayant la dimension d’un temps) lors de la superposition, afin de convertir les vecteurs vitesses en distances géométriques comparables. Richard Feynman a omis ce coefficient pour ne pas alourdir son propos et préserver la fluidité visuelle de la géométrie.

En avril 1989, Michel Hénon publie dans le magazine « La Recherche » un article intitulé « La diffusion chaotique ». Il y propose une façon très visuelle de comprendre comment un système parfaitement déterministe peut produire un comportement qui ressemble à de l’imprévisible, simplement parce qu’il est extraordinairement sensible aux conditions initiales.

Pour rendre cette idée visible sans s’appuyer sur un gros appareil mathématique, on peut partir d’un modèle de “billard” vertical assez simple : deux obstacles circulaires, une particule que l’on lâche sans vitesse initiale et qui rebondit, et une petite variation du point de départ qui, parfois, change tout.

Un billard, mais pas un mouvement rectiligne uniforme

La particule se déplace sans frottement dans un plan vertical où deux disques fixes jouent le rôle d’obstacles. À chaque collision, le rebond de la particule est élastique (angle d’incidence égal à l’angle de réflexion, pas de variation de l’énergie cinétique). Entre deux collisions, la particule est soumise à une accélération constante (gravité uniforme). Sa trajectoire entre deux chocs est celle d’un mouvement uniformément accéléré.

Il n’y a pas de parois qui enferment la particule. Après quelques rebonds, elle peut s’échapper définitivement, à gauche ou à droite. Elle ne peut espérer s’échapper que si elle a été lâchée d’une hauteur supérieure au haut des disques, bien sûr.

Vous pouvez tester cela au https://profgeek.alwaysdata.net/diffusion/ en lâchant la particule par un clic de souris.

L’idée centrale : faire varier très lentement l’abscisse du point de lâcher

La démarche proposée par Hénon pour constater la « diffusion chaotique » est la suivante. On fixe la hauteur de laquelle on lâche la particule.

Puis on ne modifie qu’un seul paramètre : l’abscisse x₀ du point de départ. On l’augmente très doucement, comme si l’on tournait une molette, et on répète l’expérience.

À chaque essai, on compte le nombre de rebonds de la particule avant qu’elle s’échappe du système. On s’arrête de compter lorsque le nombre de rebonds atteint une certaine valeur (pour ne pas trop attendre).

Ce que l’on découvre, au delà de l’intuition

L’intuition ordinaire suggèrerait une continuité : si l’on augmente très légèrement x₀, on pourrait penser que la trajectoire va se modifier très légèrement, et le nombre de rebonds augmenter progressivement, un rebond de plus ou de moins par ci ou par là.

C’est parfois vrai sur certains intervalles : sur certaines plages d’abscisses de lâcher, on obtient toujours le même scénario global (un petit nombre de rebonds, puis la sortie). Mais, en approchant de certaines valeurs de x₀, le comportement devient étonnamment instable : une variation infime du point de départ peut provoquer un rebond supplémentaire à un moment décisif, et ce détail suffit à réorganiser toute la suite des collisions, donc à changer complètement l’issue et donc le nombre de rebonds.

En voici un exemple :

Abscisse de lâcher : x₀= -3.700, 13 rebonds avant échappement

Abscisse de lâcher : x₀= -3.701, 45 rebonds avant échappement

Si l’on “zoome” autour de ces zones de bascule (en diminuant encore l’écart entre deux valeurs de x₀), on voit apparaître de nouvelles alternances plus fines. Ce phénomène est typique de ce qu’on appelle le chaotic scattering : des systèmes déterministes où l’issue (temps passé à rebondir, direction de sortie) dépend de façon extrêmement sensible de la condition initiale.

Voici un exemple avec deux « zooms » sur les courbes décrivant le nombre de rebonds en fonction de l’abscisse de lâcher :

Zooms et courbe fractale

On voit bien apparaître ici la nature fractale de la courbe qui repose sur le principe d’auto-similarité (la répétition par le zoom).À chaque zoom, on visualise de nouvelles alternances plus fines. Si l’on zoomait encore et encore sur ces nouvelles discontinuités, on retrouverait sans doute perpétuellement le même type de structure complexe, avec des pics de rebonds très resserrés. Cette propriété d’un objet géométrique qui conserve le même niveau de détail et de complexité, quelle que soit l’échelle d’observation, s’appelle l’auto-similarité. C’est la signature principale d’une fractale.

Deux disques suffisent

La source du phénomène est géométrique. Un disque est un obstacle convexe. Dans ce type de configuration, des trajectoires qui partent presque de la même manière peuvent, après quelques rebonds, diverger très nettement. Au début, l’écart est minuscule ; après plusieurs collisions, il devient énorme.

Ce que montre l’expérience de pensée

En procédant ainsi, on passe d’une image simple (deux cercles, des rebonds) à une idée plus générale : on peut produire une complexité extrême sans hasard ajouté, uniquement en répétant un protocole où l’on fait varier très progressivement une condition initiale.

C’est précisément l’avantage didactique de ce billard vertical à deux cercles : il transforme une notion abstraite (diffusion chaotique, sensibilité aux conditions initiales) en une scène que l’on peut observer et explorer en tournant lentement une seule molette : l’abscisse du point de lâcher.

N’hésitez pas à jouer avec au https://profgeek.alwaysdata.net/diffusion/

Et je suis toujours à la recherche de l’article original de Michel Hénon, dans la revue La Recherche, exemplaire n°209 d’avril 1989. Si vous l’avez, je suis preneur car j’ai perdu le mien et j’ai écrit cet article de mémoire, en m’inspirant de traces sur le net.