La diffusion chaotique, avec le billard de Michel Hénon

En avril 1989, Michel Hénon publie dans le magazine « La Recherche » un article intitulé « La diffusion chaotique ». Il y propose une façon très visuelle de comprendre comment un système parfaitement déterministe peut produire un comportement qui ressemble à de l’imprévisible, simplement parce qu’il est extraordinairement sensible aux conditions initiales.

Pour rendre cette idée visible sans s’appuyer sur un gros appareil mathématique, on peut partir d’un modèle de “billard” vertical assez simple : deux obstacles circulaires, une particule que l’on lâche sans vitesse initiale et qui rebondit, et une petite variation du point de départ qui, parfois, change tout.

Un billard, mais pas un mouvement rectiligne uniforme

La particule se déplace sans frottement dans un plan vertical où deux disques fixes jouent le rôle d’obstacles. À chaque collision, le rebond de la particule est élastique (angle d’incidence égal à l’angle de réflexion, pas de variation de l’énergie cinétique). Entre deux collisions, la particule est soumise à une accélération constante (gravité uniforme). Sa trajectoire entre deux chocs est celle d’un mouvement uniformément accéléré.

Il n’y a pas de parois qui enferment la particule. Après quelques rebonds, elle peut s’échapper définitivement, à gauche ou à droite. Elle ne peut espérer s’échapper que si elle a été lâchée d’une hauteur supérieure au haut des disques, bien sûr.

Vous pouvez tester cela au https://profgeek.alwaysdata.net/diffusion/ en lâchant la particule par un clic de souris.

L’idée centrale : faire varier très lentement l’abscisse du point de lâcher

La démarche proposée par Hénon pour constater la « diffusion chaotique » est la suivante. On fixe la hauteur de laquelle on lâche la particule.

Puis on ne modifie qu’un seul paramètre : l’abscisse x₀ du point de départ. On l’augmente très doucement, comme si l’on tournait une molette, et on répète l’expérience.

À chaque essai, on compte le nombre de rebonds de la particule avant qu’elle s’échappe du système. On s’arrête de compter lorsque le nombre de rebonds atteint une certaine valeur (pour ne pas trop attendre).

Ce que l’on découvre, au delà de l’intuition

L’intuition ordinaire suggèrerait une continuité : si l’on augmente très légèrement x₀, on pourrait penser que la trajectoire va se modifier très légèrement, et le nombre de rebonds augmenter progressivement, un rebond de plus ou de moins par ci ou par là.

C’est parfois vrai sur certains intervalles : sur certaines plages d’abscisses de lâcher, on obtient toujours le même scénario global (un petit nombre de rebonds, puis la sortie). Mais, en approchant de certaines valeurs de x₀, le comportement devient étonnamment instable : une variation infime du point de départ peut provoquer un rebond supplémentaire à un moment décisif, et ce détail suffit à réorganiser toute la suite des collisions, donc à changer complètement l’issue et donc le nombre de rebonds.

En voici un exemple :

Abscisse de lâcher : x₀= -3.700, 13 rebonds avant échappement

Abscisse de lâcher : x₀= -3.701, 45 rebonds avant échappement

Si l’on “zoome” autour de ces zones de bascule (en diminuant encore l’écart entre deux valeurs de x₀), on voit apparaître de nouvelles alternances plus fines. Ce phénomène est typique de ce qu’on appelle le chaotic scattering : des systèmes déterministes où l’issue (temps passé à rebondir, direction de sortie) dépend de façon extrêmement sensible de la condition initiale.

Voici un exemple avec deux « zooms » sur les courbes décrivant le nombre de rebonds en fonction de l’abscisse de lâcher :

Zooms et courbe fractale

On voit bien apparaître ici la nature fractale de la courbe qui repose sur le principe d’auto-similarité (la répétition par le zoom).À chaque zoom, on visualise de nouvelles alternances plus fines. Si l’on zoomait encore et encore sur ces nouvelles discontinuités, on retrouverait sans doute perpétuellement le même type de structure complexe, avec des pics de rebonds très resserrés. Cette propriété d’un objet géométrique qui conserve le même niveau de détail et de complexité, quelle que soit l’échelle d’observation, s’appelle l’auto-similarité. C’est la signature principale d’une fractale.

Deux disques suffisent

La source du phénomène est géométrique. Un disque est un obstacle convexe. Dans ce type de configuration, des trajectoires qui partent presque de la même manière peuvent, après quelques rebonds, diverger très nettement. Au début, l’écart est minuscule ; après plusieurs collisions, il devient énorme.

Ce que montre l’expérience de pensée

En procédant ainsi, on passe d’une image simple (deux cercles, des rebonds) à une idée plus générale : on peut produire une complexité extrême sans hasard ajouté, uniquement en répétant un protocole où l’on fait varier très progressivement une condition initiale.

C’est précisément l’avantage didactique de ce billard vertical à deux cercles : il transforme une notion abstraite (diffusion chaotique, sensibilité aux conditions initiales) en une scène que l’on peut observer et explorer en tournant lentement une seule molette : l’abscisse du point de lâcher.

N’hésitez pas à jouer avec au https://profgeek.alwaysdata.net/diffusion/

Et je suis toujours à la recherche de l’article original de Michel Hénon, dans la revue La Recherche, exemplaire n°209 d’avril 1989. Si vous l’avez, je suis preneur car j’ai perdu le mien et j’ai écrit cet article de mémoire, en m’inspirant de traces sur le net.